Elemente de topologie generala si analiza functionala - Marian Valentin Popescu, Lucian Nita

CUPRINS Prefata... v CAPITOLUL 1. PROPRIETATI GENERALE ALE SPATIILOR TOPOLOGICE... 11 1. 1. Definitia spatiului topologic. Exemple. Notiunea de vecinatate si de punct interior pentru o multime... 11 1. 2. Multimi inchise. Aderenta, derivata, frontiera unei multimi. Multimi dense... 17 1. 3. Baza de vecinatati a unui punct intr-un spatiu topologic. Baza de deschisi, spatii cu baza numarabila... 27 1. 4. Notiunea de subspatiu topologic. Topologia indusa... 30 1. 5. Siruri generalizate si filtre in spatii topologice... 32 1. 6. Familii de topologii pe o multime data. Relatia de ordine intre doua topologii... 41 1. 7. Limita si continuitate in spatii topologice... 48 1. 8. Generarea unei topologii folosind proprietatile familiei vecinatatilor unui punct arbitrar intr-un spatiu topologic... 58 CAPITOLUL 2. TIPURI PARTICULARE DE SPATII TOPOLOGICE... 60 2. 1. Spatii topologice separate... 60 2. 2. Spatii topologice separabile... 63 2. 3. Spatii topologice regulate... 65 2. 4. Spatii topologice compacte... 67 2. 5. Spatii topologice local compacte. Compactificarea Alexandrov. Cercul si sfera lui Riemann... 79 2. 6. Spatii topologice normale... 84 2. 7. Spatii topologice conexe... 86 2. 8. Produse de spatii topologice... 94 CAPITOLUL 3. SPATII METRICE... 104 3. 1. Definitie, exemple, proprietati generale... 104 3. 2. Spatii metrice complete... 120 3. 3. Metrici topologic si uniform echivalente... 130 3. 4. Spatii metrice compacte... 134 3. 5. Spatii Baire... 141 3. 6. Spatii metrice conexe... 145 3. 7. Compactificarea Čech-Stone. Conditii pentru ca un spatiu topologic sa fie metrizabil... 148 CAPITOLUL 4. SPATII VECTORIALE TOPOLOGICE... 160 4. 0. Spatii vectoriale. Definitii, exemple, proprietati generale... 160 4. 1. Tipuri remarcabile de multimi in spatii vectoriale... 169 ix 4. 2. Functionale liniare si subliniare. Seminorme si norme. Functionala Minkowski. Teorema Hahn-Banach... 176 4. 3. Varietati liniare si hiperplane. Proprietati de separare... 184 4. 4. Spatii vectoriale topologice. Definitie, exemple, proprietati generale... 190 4. 5. Multimi convexe, marginite, total marginite si compacte in spatii vectoriale topologice... 198 4. 6. Spatii local convexe... 204 4. 7. Topologia slaba pe un spatiu local convex... 211 CAPITOLUL 5. SPATII VECTORIALE NORMATE... 212 5. 1. Definitii, exemple, proprietati generale... 212 5. 2. Spatii vectoriale normate finit dimensionale... 219 5. 3. Spatii Banach. Definitie, proprietati, exemple de spatii Banach... 227 5. 4. Operatori liniari si continui. Definitie, exemple. Spatiul operatorilor liniari si continui... 238 5. 5. Principii fundamentale ale Analizei Functionale... 246 5. 6. Dualul unui spatiu vectorial normat... 250 5. 7. Caracterizarea dualelor unor spatii concrete... 259 5. 8. Comparatii intre spatii metrice, spatii vectoriale topologice si spatii vectoriale normate. Conditia de normabilitate a unui spatiu vectorial topologic... 271 CAPITOLUL 6. INTRODUCERE IN TEORIA DISTRIBUTIILOR... 275 6. 0. Preliminarii... 275 6. 1. Spatiul lui Schwartz... 277 6. 2. Notiunea de distributie. Definitie, exemple... 284 6. 3. Operatii cu distributii... 289 6. 4. Aplicatii ale distributiilor... 299 ANEXA. ELEMENTE DE TEORIA MASURII... 306 A. 1. CLASE DE MULTIMI... 306 A. 2. MASURI POZITIVE. DEFINITII, EXEMPLE, PROPRIETATI... 309 A. 3. FUNCTII MASURABILE... 315 A. 4. INTEGRALA UNEI FUNCTII REALE IN RAPORT CU O MASURA POZITIVA... 319 INDEX DE NOTIUNI... 326 BIBLIOGRAFIE... 336 x